Heged\H{u}s 引理的一个鲁棒版本及其应用

Heged\H{u}s 引理是关于有限域上多项式的如下组合陈述。在特征为 $p > 0$ 的域 $\mathbb{F}$ 上，对于 $q$ 为 $p$ 的幂，该引理指出，任何次数小于 $q$ 的多线性多项式 $P\in \mathbb{F}[x_1,\ldots,x_n]$，若在 $\{0,1\}^n$ 中所有具有某个固定汉明重量 $k\in [q,n-q]$ 的点上为零，则必然也在 $\{0,1\}^n$ 中所有重量为 $k + q$ 的点上为零。Heged{\H{u}s (2009) 曾用此引理解决了一个关于集合系统的极值问题——Galvin 问题；Alon、Kumar 和 Volk (2018) 用它改进了已知最佳的多线性电路下界；Hrube\v{s}、Ramamoorthy、Rao 和 Yehudayoff (2019) 则用它证明了计算某些对称函数的深度-$2$ 阈值电路的最优下界。在本文中，我们提出了 Heged{\H{u}s 引理的一个鲁棒版本。非正式地说，该版本指出，如果一个次数为 $o(q)$ 的多项式在重量为 $k$ 的大多数点上为零，那么它在重量为 $k+q$ 的许多点上也为零。我们证明了该引理并给出了三个不同的应用。