关于复值函数的图范数

对于任意给定图 $H$，可利用同态密度为实值函数定义一种自然的相应泛函 $\|.\|_H$。一旦将 $H$ 与用于指定共轭的 $2$-边染色 $\alpha$ 配对，也可将其推广到复值函数。若 $\|.\|_H$（相应地，$\|.\|_{H,\alpha}$ 对某个 $\alpha$）是实值（相应地，复值）函数向量空间上的范数，则称 $H$ 为实赋范（相应地，复赋范）。这些推广了 Gowers 八面体范数——极值组合学中广泛用于量化拟随机性的工具。我们统一了实值与复值情形下这两种看似不同的图范数概念。即，我们证明 $H$ 是复赋范的当且仅当它是实赋范的，并径称该性质为赋范。我们的证明未显式构造合适的 $2$-边染色 $\alpha$，而是得到其存在性与唯一性，这本身可能具有独立意义。作为一个应用，我们给出多种非赋范图的例子。特别地，我们证明超立方体非赋范，从而解决了 Hatami 关于图范数的开创性工作中提出的最后一个未决问题。