p-Airy 分布

在本手稿中，我们考虑赋予均匀测度的 Dyck 路径集合，并研究当路径大小 $N$ 趋于无穷时，可观测对象“Dyck 路径下方面积”的一种变形的统计性质。所分析的变形显然是新的：通常面积是构造为 Dyck 路径各步高度之和，而此处我们将其视为路径下方连通水平切片长度之和，并通过将正正则函数 $\omega(\ell)$ 应用于切片长度来对其进行变形，使得对于大自变量有 $\omega(\ell) \sim \ell^p$。这种范式转换的动机来自随机组合优化中的欧几里得随机分配问题，以及代数组合学中的树钩公式。对于 $p \in \mathbb{R}^+ \smallsetminus \left\{ \frac{1}{2}\right\}$，我们通过计算其整数矩，作为变形函数 $\omega(\ell)$ 的函数刻画了变形面积的统计性质，得到了 Tak\'acs 关于 area-Airy 分布矩的著名递推关系的一个推广。变形面积分布的大部分性质是\emph{普适的}，意味着它们依赖于变形参数 $p$，而不依赖于函数 $\omega(\ell)$ 的微观细节。我们将这一族普适分布称为\emph{$p$-Airy 分布}。