p 进薛定谔方程与量子力学中的双缝实验

p 进量子力学由 Dirac-von Neumann 公理构建，将量子态等同于 N 维 p 进空间上平方可积函数。这一选择等价于空间离散性的假设。时间被假定为实变量。p 进量子力学源于如下问题动机：若空间具离散本性，标准量子力学将发生什么？量子态的时间演化由一非局域薛定谔方程控制，该方程通过时间 Wick 转动由 p 进热方程得到。此 p 进热方程描述粒子在 N 维 p 进空间中作随机运动。哈密顿量为非局域算符；因而，薛定谔方程描述量子态在非局域相互作用下的演化。在此框架下，薛定谔方程容许复值平面波解，我们将其解释为 p 进 de Broglie 波。这些数学波的波长均为 1/p。在 p 进框架下，双缝实验无法用 de Broglie 波的干涉来解释。波函数可表示为 de Broglie 波中的收敛级数，但 p 进 de Broglie 波仅为数学对象。唯有波函数模的平方具有物理意义，作为与时间相关的概率密度。这些概率密度展现出类似于“量子波”所产生的干涉图样。在 p 进框架下，双缝实验中每个粒子仅穿过一条缝。