Sierpinski 的满射性质

定义 (*)：存在 $(\phi_n:\omega_1\to \omega_1:n<\omega)$，使得对于 $\omega_1$ 的每一个不可数子集 $I$，都存在某个 $n$ 使得 $\phi_n$ 将 $I$ 满射到 $\omega_1$。这大致是 Sierpinski 在其关于连续统假设的书中提到的 $P_3$，但我认为他将其引入了实数线。我不懂法语，所以无法确切说明他的论述，但我认为他证明了 (*) 可由连续统假设推出。我们证明了 Luzin 集的存在蕴含 (*)；而 (*) 蕴含存在一个大小为 $\omega_1$ 的非贫乏实数集。我们还证明了 (*) 成立但不存在 Luzin 集是相对一致的。本文中的所有其他性质 (**)、(S*)、(S**)、(B*) 均被证明与 (*) 等价。