可交换随机划分中小块的数量

假设$\Pi$是正整数的一个可交换随机划分，$\Pi_n$是其限制在$\{1, ..., n\}$上的部分。令$K_n$表示$\Pi_n$的块数，$K_{n,r}$表示$\Pi_n$中包含$r$个整数的块数。我们证明，如果$0 < \alpha < 1$且$K_n/(n^{\alpha} \ell(n))$依概率收敛于$\Gamma(1-\alpha)$，其中$\ell$是一个缓变函数，那么$K_{n,r}/(n^{\alpha} \ell(n))$依概率收敛于$\alpha \Gamma(r - \alpha)/r!$。当$K_n/(n^{\alpha} \ell(n))$的收敛几乎必然成立时，该结果先前已知，但在依概率收敛的假设下得到该结果对并合理论具有重要意义。我们还证明，关于$K_n$增长仅略慢于$n$的情况的一个相关猜想不成立。