具有 t-周期数据的非线性薛定谔方程：II. 微扰结果

我们考虑半直线上的非线性薛定谔方程，其给定的狄利克雷边界数据在 t 很大时趋向于一个周期函数。我们假设该函数足够小，即它可以表示为 $\alpha g_0^b(t)$ 的形式，其中 $\alpha$ 是一个小常数。假设诺伊曼边界值在 t 很大时趋向于周期函数 $g_1^b(t)$，我们证明 $g_1^b(t)$ 可以用一个关于 $\alpha$ 的微扰级数来表示，该级数可以显式地构造到任意所需阶数。作为示例，我们针对 $g_0^b(t)$ 是两个指数函数之和的特殊情况，计算了 $g_1^b(t)$ 到 $\alpha^8$ 阶。我们还证明，存在特定的函数 $g_0^b(t)$，对于这些函数，上述级数可以求和，因此对于这些函数，$g_1^b(t)$ 可以以封闭形式获得。最简单的此类函数是 $\exp(i\omega t)$，其中 $\omega$ 是一个实常数。