块传递子空间设计的不存在性

设$q$为素数幂且$V\cong{\mathbb F}_q^n$。一个$t$-$(n,k,\lambda)_q$设计,或简称为子空间设计,是一对${\mathcal D}=(V,{\mathcal B})$,其中${\mathcal B}$是$V$的所有$k$维子空间集合的一个子集,具有性质:$V$的每个$t$维子空间恰好包含在${\mathcal B}$的$\lambda$个元素中。子空间设计是平衡不完全区组设计的$q$-类比。若其自同构群${\rm Aut}({\mathcal D})$在${\mathcal B}$上传递作用,则称此类设计为块传递的。本文证明:若$t\geq 2$且${\mathcal D}$是一个块传递的$t$-$(n,k,\lambda)_q$设计,则${\mathcal D}$是平凡的,即${\mathcal B}$是$V$的所有$k$维子空间的集合。