丢番图逼近理论中的混合施密特猜想

设 $\mathcal{D}=(d_n)_{n=1}^\infty$ 是一个有界整数序列，满足 $d_n\ge 2$，并设 $(i, j)$ 是一对严格正数，满足 $i+j=1$。我们证明，存在某个常数 $c(x) > 0$ 使得对所有 $q \in \NN$ 有 $$\max\{|q|_\DDD^{1/i}, \|qx\|^{1/j}\} > c(x)/ q$$ 的 $x \in \RR$ 的集合是四分之一获胜的（在施密特博弈的意义下）。因此，任何可数多个此类集合的交集具有全维数。反过来，这就在 de Mathan-Teulié 猜想（也称为“混合李特尔伍德猜想”）的框架内建立了施密特猜想的自然类比。