二叉毛虫树的最小渐近密度

给定 $d\geq 2$ 以及两棵有根 $d$ 叉树 $D$ 和 $T$，其中 $D$ 有 $k$ 片叶子，则 $D$ 在 $T$ 中的密度 $\gamma(D,T)$ 定义为：在擦除所有出度为 $1$ 的顶点后，$T$ 的所有 $k$ 元叶子子集中诱导出与 $D$ 同构的树所占的比例。在最近的一项工作中，证明了当 $T$ 的规模趋于无穷时该密度的下极限恒为零，除非 $D$ 是 $k$ 叶二叉毛虫树 $F^2_k$（即去掉全部 $k$ 片叶子后仍保留一条路径的二叉树）。本文的主要定理给出了当 $T$ 的规模趋于无穷时 $\gamma(F^2_k,T)$ 之下极限的精确公式（同时涉及 $d$ 与 $k$）。