由颜色层次图结构参数化的最大彩色树形图问题

设 G=(V,A) 为一个以某顶点 r 为根的顶点着色、弧加权有向无环图 (DAG)，并设 H 为其颜色层次图，定义如下：V(H) 是 G 的颜色集 C，若 G 中存在一条从颜色为 c 的顶点指向颜色为 c' 的顶点的弧，则 H 中存在一条从颜色 c 到颜色 c' 的弧。本文研究最大彩色树形图问题 (MAXIMUM COLORFUL ARBORESCENCE，简称 MCA)，该问题以具有额外约束（即 H 也是 DAG）的 DAG G 为输入，旨在 G 中寻找一棵以 r 为根、权重最大且每种颜色至多出现一次的树形图。MCA 问题源于质谱实验中未知代谢物的推断。然而，尽管该问题已被研究近十年，但 H 必然为 DAG 这一关键性质直到最近才被指出并加以利用。本文在这一新视角下进一步研究 MCA，提供该问题的算法结果，特别关注固定参数可解性 (FPT) 问题，并针对 H 的不同结构参数展开。特别地，我们给出了一个求解 MCA 的 O*(3^{nhs}) 时间算法，其中 nhs 是 H 中入度至少为 2 的顶点数，从而改进了 [Böcker et al. 2008] 中的 O*(3^{|C|}) 算法。我们还证明了 MCA 相对于 H 的树宽 Ht 是 W[2]-难的，并进一步证明它相对于 Ht+lc 是 FPT 的，其中 lc = |V| - |C|。