稀疏图中的自适应大规模并行着色

图上的经典对称破缺问题在现代并行计算模型中受到了广泛关注。自适应大规模并行计算 (AMPC) 是一种能够刻画数据中心计算核心挑战的模型。Chang 等人 [PODC'2019] 针对 $(\Delta + 1)$-着色问题给出了一种极快的常数时间算法,其中 $\Delta$ 是具有 $n$ 个节点的输入图的最大度。该算法适用于限制最严格的低空间设置,即每台机器拥有 $n^{\delta}$ 的本地空间,其中常数 $0 < \delta < 1$。本文研究了以树状度 $\alpha$ (衡量稀疏性的标准度量) 为参数的稀疏图顶点着色问题。我们给出了确定性算法,在常数或近乎常数的时间内产生 $\text{poly} ~\alpha$ 和 $O(\alpha)$-着色,其中 $\alpha$ 可以任意小于 $\Delta$。计算依赖树状度着色的一种强有力且标准的方法是通过 Nash-Williams 林分解,该方法产生边的一种 (无环) 定向,使得每个节点的出度较小。我们的主要技术贡献是给出了计算这些定向的高效确定性算法,并展示了如何在低空间 AMPC 中利用它们来寻找着色。一个关键的技术挑战是,节点的颜色可能依赖于图中几乎所有其他节点,而这些依赖关系无法存储在单台机器上。尽管如此,我们新颖且审慎的探索技术仍得出了该定向及依赖树状度的着色,且每个节点仅需次线性数量的自适应查询。