Mackey-Gleason 问题

设 $A$ 为无 $\roman I_2$ 型直和项的冯·诺依曼代数,令 $\scr P(A)$ 为其投影格。$X$ 为巴拿赫空间。设 $m\:\scr P(A)\to X$ 为有界函数,使得当 $p$ 与 $q$ 为正交投影时 $m(p+q)=m(p)+m(q)$。主要定理指出 $m$ 可唯一延拓为从 $A$ 到 $X$ 的有界线性算子。特别地,$\scr P(A)$ 上每个有界复值有限可加量子测度都可唯一延拓为 $A$ 上的有界线性泛函。