Lovász theta 函数用于恢复植入团覆盖与图着色

计算图着色与团覆盖的问题是组合优化中的核心挑战。二者均已知为 NP 难，因而在最坏情况下实例中计算上难以处理。计算这些问题近似解的一种著名方法是著名的 Lovász theta 函数 $\vartheta(G)$，其被定义为一个半定规划（SDP）的解，因此可高效计算。本文超越最坏情况分析，旨在理解 Lovász theta 函数是否能对具有潜在团覆盖结构（可能被噪声掩盖）的随机实例恢复团覆盖。我们肯定地回答了该问题，并表明对于本文引入的植入团模型生成的图，其 $\vartheta(G)$ 的 SDP 公式具有唯一解，能以高概率揭示底层团覆盖结构。主要技术步骤是一个中间结果，其中我们基于适当的稀疏性概念证明了确定性恢复条件。