Z^d 的成环常数

成环常数 $\xi(Z^d)$ 是 $Z^d$ 中无限环擦除随机游走上位于原点的邻居的期望数目。Poghosyan、Priezzhev 和 Ruelle，以及独立地 Kenyon 和 Wilson，最近证明了 $\xi(Z^2)=5/4$。我们考虑当 $G \uparrow Z^d$ 时以下三种统计量的无穷体积极限：(1) G 的均匀生成单轮图中环的期望长度；(2) G 上阿贝尔沙堆模型的均匀回归状态的期望密度；(3) G 的生成单轮图数目与 G 的有根生成树数目之比。我们证明所有三个极限都是成环常数 $\xi(Z^d)$ 的有理函数。在 $Z^2$ 情形下，它们的值分别为 8、17/8 和 1/8。