随机游走的凝聚与 Wulff 晶体

我们在欧几里得 $d$ 维格点上引入了一种长度为 $t$ 的最近邻路径的 Gibbs 测度，其中每条路径因其边界大小的比例因子和逆温度 $\beta$ 而受到惩罚。我们证明，对于所有 $\beta>0$，在 $d=2$ 维情况下，随机游走凝聚为一个直径为 $(t/\beta)^{1/3}$ 的集合（相差一个乘法常数）。在所有 $d\ge 3$ 维情况下，我们也证明了体积以 $(t/\beta)^{d/(d+1)}$ 为上界，直径以 $(t/\beta)^{1/(d+1)}$ 为下界。当 $\beta$ 大于某个显式常数（在二维情况下为连接常数的对数）时，对于在其值域内各处局部时间大于 $\beta$ 的条件随机游走，类似结果也成立。