Akhmediev 呼吸子及其线性与非线性不稳定性

Akhmediev 呼吸子（AB）及其 M-孤子推广 $AB_M$ 是聚焦 NLS 方程在空间上周期、在时间上于常数不稳定背景上指数局域的精确解；它们描述了 $M$ 个不稳定非线性模式的出现及其相互作用，并有望在自然界中周期异常波（ rogue waves，AWs）理论中扮演重要角色。已相当确立的是，它们相对于 NLS 方程的小扰动是不稳定的。关于在这些解的 NLS 动力学内的扰动，文献中有如下普遍看法：设 NLS 背景相对于前 $N$ 个模式不稳定；则 i) 若 $AB_M$ 解的 $M$ 个不稳定模式严格包含于该集合中（$M<N$），则 $AB_M$ 不稳定；ii) 若 $M=N$，即所谓“不稳定性饱和”，则 $AB_M$ 解为中性稳定。我们则论证 $AB_M$ 解总是不稳定的，即使在饱和情形 $M=N$ 下也是如此，并在最简情形 $M=N=1$ 下予以证明。我们首先证明线性不稳定性，构造了两个随时间指数增长的线性化理论的 $x$-周期解例子。然后我们利用先前结果研究非线性不稳定性，表明 i) 扰动的 AB 初始条件演化为由初始数据初等函数描述的 AB 的精确 Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou（FPUT）递归，至主导阶；ii) AB 解比背景解更不稳定，且其不稳定性随 $T\to 0$ 增大，其中 $T$ 为 AB 出现参数。尽管 AB 解在线性与非线性上均不稳定，它在自然界中仍相关，因为其不稳定性生成 AB 的 FPUT 递归。这些结果恰当地推广到 $M=N>1$ 的情形。