纽结的最小张成面积与最优边界链问题

纽结理论中的两个基本对象是三维流形中由纽结界定的最小亏格曲面和最小面积曲面。当纽结嵌入一般三维流形时，寻找这些曲面的问题分别被证明是NP完全和NP困难的。然而，有证据表明，当环境流形为R^3，或更一般地当第二同调群平凡时，特殊情况应更易处理。事实上，我们在此证明，最小面积曲面的自然离散版本可以在多项式时间内找到。具体设定是，纽结是环境三维流形三角剖分的一维子复形。我们使用的主要工具是最优边界链问题的线性规划公式，该问题要求找到具有给定边界的最小范数链。虽然最优边界链问题的判定变体在一般情况下是NP完全的，但我们给出了可在多项式时间内求解的条件。然后，我们展示了如何利用三维拓扑中的标准解奇异化论证，从最优边界链构造最小面积曲面。我们还证明了相关的最优同调链问题对于整数系数同调是NP完全的，这补充了Chen和Freedman关于模2同调的相应结果。