Kervaire 猜想与曲面的最小复杂性

Kervaire 猜想断言：向一个非平凡群添加一个生成元再添加一个关系元，总得到非平凡群。我们引入来自稳定交换子长度的新方法来研究这类关于单关系商群非平凡性的问题。大致而言，我们证明在某些 HNN 扩张中，界定给定字的曲面其复杂性不低于其边界的复杂性。由此得到的一个推论是 HNN 扩张的自由性定理（Freiheitssatz），它特别地蕴含并给出了 Klyachko 定理的新证明，该定理证实了无挠群的 Kervaire 猜想。作为另一应用，我们还将 Klyachko-Lurye 的如下定理推广至 HNN 扩张：对任意群 $G$ 及由任意真幂 $w^m$（$w\in G\star\mathbb{Z}$ 且投影到 $1\in\mathbb{Z}$）所作商 $Q = (G\star\mathbb{Z})/\langle\!\langle w^m\rangle\!\rangle$，自然映射 $G\to Q$ 是单射。