Kelmans-Seymour 猜想 III：$K_4^-$ 中的 3-顶点

设 $G$ 为一个 5-连通非平面图，且设 $x_1,x_2,y_1,y_2\in V(G)$ 互不相同，使得 $G[\{x_1,x_2,y_1,y_2\}]\cong K_4^-$ 且 $y_1y_2\notin E(G)$。我们证明以下情况之一成立：$G-x_1$ 包含 $K_4^-$，或者 $G$ 包含一个 $x_1$ 度为 2 的 $K_4^-$，或者 $G$ 包含一个 $x_1$ 不是分支顶点的 $TK_5$，或者可以选择 $\{x_2,y_1,y_2\}$ 使得对于任意互不相同的 $z_0, z_1\in N(x_1)-\{x_2,y_1,y_2\}$，$G-\{x_1v:v\notin \{z_0, z_1,x_2, y_1,y_2\}\}$ 包含 $TK_5$。此结果将被用于证明 Kelmans-Seymour 猜想。