半直线上的 KdV 方程：Dirichlet 到 Neumann 映射

我们考虑半直线 $x \geq 0$ 上 KdV 方程 $u_t + u_x + 6uu_x + u_{xxx} = 0$ 的初边值问题。对于一个适定问题，可以给定初始数据 $u(x,0)$ 以及三个边界值 $\{u(0,t), u_x(0,t), u_{xx}(0,t)\}$ 中的一个；其余两个边界值保持未知。我们通过一个非线性积分方程组，给出了 Dirichlet 问题以及两个 Neumann 问题中未知边界值的特征描述。这些特征描述是有效的，因为该积分方程组可以在定义明确的递归方案中微扰求解至任意阶。