第 k 阶保持集与平面圆环的等面积不等式

本文引入并研究了一类新集合，即第 k 阶保持集合（kth Order Preserving Sets），这些集合自然源于与伽尔果（hedgehog）相关联支持函数的傅里叶分析。具体而言，我们关注那些支持函数具有仅包含固定 k 的正倍数的指数的傅里叶级数的集合。我们探讨了第 k 阶中点集（kth Order Midpoint Set）的几何结构，该集合定义为围绕给定伽尔果的所有等角 k 边形的质心集合。该集合捕捉了底层几何配置的关键结构和与对称性相关的特征。我们研究了此类集合的几何性质，特别是建立了一条等周问题不等式，关联围绕简单光滑凸闭曲线（即圆环）$\mathcal{O}$的周长与面积：$$L_{\mathcal{O}}^2 - 4\pi A_{\mathcal{O}} \geqslant 4\pi |A_{\mathcal{P}_k}| + 2\pi |A_{\Omega_{\mathcal{O},k}}|,$$其中 $L_{\mathcal{O}}$ 表示 $\mathcal{O}$的周长，$A_{\mathcal{O}}$ 是由 $\mathcal{O}$包围区域的面积，$A_{\mathcal{P}_k}$ 是与第 k 阶保持集合 $\mathcal{P}_k$相关的有向面积，$A_{\Omega_{\mathcal{O},k}}$ 是与与 $\mathcal{O}$相关的第 k 阶中点集 $\Omega_{\mathcal{O},k}$相关的有向面积。此外，我们刻画了等号情形：当且仅当围绕 $\mathcal{O}$的每个等角外接 k 边形都是以其质心位于 $\mathcal{O}$的斯坦纳点处的正 k 边形时，该不等式才成为等号。