几何正则化下的跳跃集：第 2 部分——高阶方法

在第 1 部分中，我们开发了一种基于 Lipschitz 推前的新技术，用于证明全变分去噪解 $u$ 的跳跃集包含性质 $\mathcal{H}^{m-1}(J_u \setminus J_f)=0$。我们证明了该技术也适用于 Huber 正则化全变分。现在，在第 2 部分中，我们将该技术扩展至高阶正则化项。对于基于二阶项对称化梯度的全广义变分（TGV），我们尚无法完全证明该性质。我们表明，在三个条件下该性质成立：首先，解 $u$ 是局部有界的；其次，二阶变量具有局部有界变差，$w \in \mbox{BV}_\mbox{loc}(\Omega; \mathbb{R}^m)$，而不仅仅是有界变形，$w \in \mbox{BD}(\Omega)$；第三，$w$ 不在 $J_u$ 上沿平行于 $J_u$ 的方向发生跳跃。第二个条件可通过非对称 TGV 实现。若将对称化梯度 $Ew$ 的 Radon（或 $L^1$）范数改为 $L^p$ 范数（$p>1$），则第二个和第三个条件均可实现，此时 Korn 不等式成立。我们还考虑了该技术在下确界卷积全变分中的应用，并研究了当 $\mbox{TGV}^2$ 的第二个参数趋于零时，$D u$ 奇异部分的极限行为。不出所料，该部分消失，但在数值离散化中情况却大不相同。最后，我们的工作还包括关于 $\mbox{BV}(\Omega)$ 中 TGV 严格逼近的结果。