双点代数几何码旗中的等距对偶性质

若对于某个 ${\bf x}\in (\mathbb{F}_q^*)^n$，码 $C_i$ 对所有 $i=0,\ldots, s$ 均关于 ${\bf x}$ 等距于其对偶码 $C_{s-i}^\perp$，则称码旗 $C_0 \subsetneq C_1 \subsetneq \cdots \subsetneq C_s \subseteq {\mathbb F}_q^n$ 满足{\it 等距对偶性质}。对于函数域 ${\mathcal F}$ 中的有理点 $P$ 和 $Q$，我们研究在双点代数几何码族 $$C_\mathcal L(D, a_0P+bQ)\subsetneq C_\mathcal L(D, a_1P+bQ)\subsetneq \dots \subsetneq C_\mathcal L(D, a_sP+bQ)$$ 中存在等距对偶码旗的问题，其中除子 $D$ 为 ${\mathcal F}$ 中两两不同的有理点之和，且 $P, Q$ 不在 $\mbox{supp}(D)$ 中。我们就一般的函數域刻画了这些序列关于 $b$ 的特征。随后我们将该结果应用于由仿射方程 $y^m=f(x)$ 定义的广泛库默尔扩张类 ${\mathcal F}$，其中 $f(x)$ 为次数为 $r$ 的可分多项式，且 $\mbox{gcd}(r, m)=1$。对于 $P$ 为无穷远有理点、$Q$ 为与 $f(x)$ 某一根相关联的有理点，我们证明了该双点代数几何码旗具有等距对偶性质当且仅当 $m$ 整除 $2b+1$。最后，我们通过在若干著名函数域上的双点码应用这些结果来加以说明。