幂律尺寸分布的不变性

尺寸各异。小物体通常比大物体更频繁出现。频率的对数往往随尺寸的对数线性下降。该幂律关系构成了自然界的常见模式之一。为何自然的复杂性会简化为如此简单的模式？为何诸如树木尺寸与酶速率这样迥异的事物遵循同样简单的模式？本文通过分析此类模式的不变性质来研究它们。例如，当给所有观测值加上一个常数时，常见模式不应改变。这种平移本质上是对尺子上点的重新编号，而不改变该尺子所提供的度量信息。仅当尺度的标度被恰当校准到所测模式时，尺子才具有平移不变性。拉伸不变性对应于某事物总量的守恒，例如总生物量进而平均尺寸。旋转不变性对应于不依赖于底层过程发生顺序的模式，例如一种将导致观测值的组分过程加性组合的标度。我以树木尺寸为例，阐明关键不变性如何塑造模式。随后给出对常见模式的简单解释。该简单解释通过由基本不变性设定的标度变换，将正态分布与多种多样的其他常见模式联系起来。