寄生模式对“弱”不稳定多步有限差分格式的影响

线性常系数有限差分格式的数值分析大约在五十年前发展起来。它依赖于格式稳定性的假设，特别是在$L^2$设定下，要求放大多项式在单位圆上没有重根。这使得在讨论方法收敛性时，可以将格式相容性的研究与对其寄生/伪模式的精确了解解耦，从而多步方法可以基本上像单步格式一样进行研究。换句话说，全局截断误差可以从局部截断误差推断出来。此外，稳定性减轻了深入探究计算机浮点运算复杂性的需要，而浮点运算可能是一个难以处理的话题。本文表明，在单位圆上存在重根的“弱”不稳定格式的情况下，尽管格式可能保持稳定，但考虑寄生模式对于研究其相容性以及因此的收敛性至关重要。换言之，真正稳定性的缺失阻止了用局部截断误差来界定全局截断误差，因此必须单独研究全局截断误差。这项研究是由格子Boltzmann格式上意想不到的数值结果引发的，这些格式可以重写为多步有限差分格式。最初的预期表明，三阶初始化方案足以维持四阶多步格式的精度。然而，这一假设对于“弱”不稳定格式被证明是错误的。这种边界情况凸显了真正稳定性在促进构建Lax-Richtmyer类定理以及掌握舍入误差影响方面的重要性。尽管本文所考虑的常速度线性输运方程简单且看似缺乏实际用途，但我们证明，基于Jin-Xin近似和高阶分裂公式，该方程的高阶格子Boltzmann格式可用于处理非线性守恒律系统。