维度、扩散与有向性对抽象瓦片组装模型中内在普适性的影响
计算几何
2019-10-10 v1
摘要
我们给出了一系列与自组装瓦片数学模型及其三种不同性质对动力学的影响相关的结论。我们扩展了先前的一系列结果，这些结果表明：(1) 抽象瓦片组装模型（aTAM）是内在普适（IU）的[FOCS 2012]；(2) 有向 aTAM 系统类不是 IU 的[FOCS 2016]。一个模型（或模型中的某类系统）的 IU 意味着存在一个通用瓦片集，可用于模拟该模型（或类）中的任意系统。此外，模拟不仅必须产生相同的结果结构，还必须仅模一个尺度因子地保持被模拟系统的完整动力学。虽然 FOCS 2012 的结果表明标准二维（2D）aTAM 是 IU 的，但在此我们表明三维版本同样如此。相反，FOCS 2016 的结果表明有向（亦称确定性或合流）的 aTAM 系统类不是 IU 的，意味着此类模拟从根本上需要非确定性。然而在此，我们表明在 3D 中有向 aTAM 系统类实际上是 IU 的，即存在一个针对它们的通用有向模拟器。接着我们考虑更严格的维度概念的影响。具体而言，我们引入平面 aTAM，其中瓦片不仅被限制在平面内结合，也被限制在平面内移动，并证明平面 aTAM 不是 IU 的，且平面 aTAM 中的有向系统类也不是 IU 的。最后，类似于平面 aTAM，我们引入其三维对应物——空间 aTAM，并证明它是 IU 的。为证明我们的正面结果，我们不仅设计而且实现了我们相信是任何瓦片组装模型中首个被实现并模拟的 IU 瓦片集。我们已将其以及一个可演示它的模拟器免费公开。
引用
@article{arxiv.1910.03950,
title = {The Impacts of Dimensionality, Diffusion, and Directedness on Intrinsic Universality in the abstract Tile Assembly Model},
author = {Daniel Hader and Aaron Koch and Matthew J. Patitz and Michael Sharp},
journal= {arXiv preprint arXiv:1910.03950},
year = {2019}
}
备注
A shortened version of this paper was accepted to SODA 2020