自由微分代数的理想

我们考虑具有 N 个生成元 $\{\xi_i\}_{i = 1,...,N}$ 的自由 ${\bf C}$-代数 ${\cal B}_q$，以及一组 $N$ 个微分算子 $\{\partial_i\}_{i = 1,...,N}$，它们根据规则 $\partial_i\xi_j = \delta_{ij} + q_{ij}\xi_j\partial_i$ 作为 ${\cal B}_q$ 上的扭曲导子作用；即对任意 $x \in {\cal B}_q$，有 $\partial_i(\xi_jx) = \delta_{ij}x + q_{ij}\xi_j\partial_i x,$ 且 $\partial_i{\bf C} = 0$。${\cal B}_q$ 上的下标 $q$ 代表 $\{q_{ij}\}_{i,j \in \{1,...,N\}}$，并解释为参数空间中的一点，$q = \{q_{ij}\}\in {\bf C}^{N^2}$。常数 $C \in {\cal B}_q$ 是满足性质 $\partial_iC = 0, i = 1,...,N$ 的非平凡元素。参数空间中的每一点对应唯一一组常数和一个微分复形。当参数 $q_{ij}$ 处于一般位置时不存在常数。我们获得了关于参数空间中存在常数的代数曲面的若干精确结果。令 ${\cal I}_q$ 表示由常数生成的理想。我们将商代数 ${\cal B}_q' = {\cal B}_q/{\cal I}_q$ 与 Yang-Baxter 代数联系起来，特别是与量子化 Kac-Moody 代数联系起来。该微分复形是用 Serre 生成元描述的量子化 Kac-Moody 代数复形的推广。$q$-微分方程的 integrability 条件与 Hochschild 上同调相关。我们证明了对 $p \geq 1$ 有 $H^p({\cal B}_q',{\cal B}_q') = 0$。与广义量子化 Kac-Moody 代数的紧密关系提示了分类这些代数的一种途径。