布朗平面的壳层过程

我们研究了称为布朗平面（Brownian plane）的随机度量空间，它与布朗地图（Brownian map）密切相关，并被猜想为许多离散随机格点（如均匀无限平面三角剖分）的普适缩放极限。我们获得了布朗平面的一系列显式分布。特别地，对于每个 $r>0$，我们考虑半径为 $r$ 的壳层（hull），它是通过“填充”以根为中心、半径为 $r$ 的球体中的空洞而得到的。我们引入了一个量 $Z_r$，将其解释为半径为 $r$ 的壳层边界的（广义）长度。我们将过程 $(Z_r)_{r>0}$ 的规律识别为从时间 $-\infty$ 处的 $+\infty$ 开始并条件化为在时间 $0$ 击中 $0$ 的连续状态分支过程的时间反演，并在给定过程 $(Z_r)_{r>0}$ 的情况下给出了壳层体积过程的显式描述。我们得到了半径为 $r$ 的壳层体积的拉普拉斯变换的显式公式，并确定了在给定边界长度条件下该体积的条件分布。我们的证明涉及一维超布朗运动和布朗蛇（Brownian snake）的某些新公式，这些公式本身具有独立意义。