普遍曲面的地平线问题

我们研究了由函数 $f \in C[0,1]^2$ 定义的分形曲面地平线的盒维数。特别地，我们证明了一个普遍曲面满足“地平线性质”，即地平线的盒维数比曲面的盒维数小一。由于普遍曲面的盒维数为3，这并未提供关于维数严格小于3的曲面地平线的任何信息。为了研究这种情况，我们引入了上盒维数至多为 $\alpha$（$\alpha \in [2,3)$）的曲面函数空间。在此设定下，地平线的行为更为微妙。我们构造了这些空间的一个普遍子集，其中地平线的下盒维数介于曲面维数减一与2之间。我们证明，在普遍性意义上，如果空间仅根据维数定义，这些界限是尽可能紧的。然而，如果我们在Lipschitz空间中工作，地平线性质确实对普遍函数成立。在此过程中，我们获得了函数和的盒维数的一系列性质。