符号平方的 Hilbert 多项式

设 $k$ 为代数闭域，$C\subset \mathbb{P}^n_k$ 为具有理想层 $\mathcal{I}$ 的既约闭子概形。令 $\mathcal{I}^{<2>}$ 为 $\mathcal{I}$ 的第二符号幂。当 $C$ 为整曲线时，我们根据 $C$ 的不变量计算 $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}/\mathcal{I}^{<2>}$ 的 Hilbert 多项式。