多重调和映射的 Heinz 型不等式、Bloch 型定理与 Lipschitz 特征

设 $f$ 满足以下条件：$(1)$ 多重调和方程 $\Delta^{m}f=\Delta(\Delta^{m-1} f)$$=\varphi_{m}$ $(\varphi_{m}\in \mathcal{C}(\overline{\mathbb{B}^{n}},\mathbb{R}^{n}))$，$(2)$ 边界条件 $\Delta^{0}f=\varphi_{0},\Delta^{1}f=\varphi_{1},~\ldots,~\Delta^{m-1}f=\varphi_{m-1}$ 于 $\mathbb{S}^{n-1}$ 上（$\varphi_{j}\in \mathcal{C}(\mathbb{S}^{n-1},\mathbb{R}^{n})$ 对 $j\in\{0,1,\ldots,m-1\}$ 且 $\mathbb{S}^{n-1}$ 表示单位球 $\mathbb{B}^{n}$ 的边界），以及 $(3)$ $f(0)=0$，其中 $n\geq3$ 与 $m\geq1$ 为整数。首先，我们证明一个 Schwarz 型引理，并借此得到满足上述带 Dirichlet 边值条件的多重调和方程映射的一个 Heinz 型不等式。进而，我们建立满足上述多重调和方程映射的 Bloch 型定理，该定理回答了 \cite{CP-Hi} 中的一个公开问题。此外，我们证明若 $f$ 是 $\mathbb{B}^{n}$ 上满足上述多重调和方程的 $K$-拟共形自映射，则 $f$ 是 Lipschitz 连续的，且当 $K\to 1^{+}$ 与 $\|\varphi_{j}\|_{\infty}\to 0^{+}$（$j\in\{1,\ldots,m\}$）时 Lipschitz 常数是渐近尖锐的。