作为模空间的豪斯多夫拓扑

1914年，F. Hausdorff在度量空间$X$的闭子集集合上定义了一度量。该度量在$X$的紧子集集合$H$上诱导出一个拓扑，称为豪斯多夫拓扑。我们证明了拓扑空间$H$表示了序拓扑空间范畴上的函子，该函子将$T$映射到$T \times X$的闭子空间$Z$的集合，其中投影$\pi_1 : Z \to T$是开且真（proper）的。特别地，$H$上的豪斯多夫拓扑仅通过$X$的底层拓扑空间依赖于度量空间$X$。豪斯多夫空间$H$提供了代数几何中希尔伯特概型（Hilbert scheme）在拓扑学中的类似物。作为一个应用示例，我们探讨了一种称为豪斯多夫商（Hausdorff quotient）的商构造，它是代数几何中希尔伯特商（Hilbert quotient）的类似物。