三色无和集的增长率

设 $G$ 为阿贝尔群。$G^n$ 中的一个三色无和集是 $G^n$ 中三元组 $({\bf a}_i, {\bf b}_i, {\bf c}_i)$ 的集合，满足 ${\bf a}_i+{\bf b}_j+{\bf c}_k=0$ 当且仅当 $i=j=k$。固定一个素数 $q$，令 $C_q$ 为 $q$ 阶循环群。设 $\theta = \min_{\rho>0} (1+\rho+\cdots + \rho^{q-1}) \rho^{-(q-1)/3}$。Blasiak、Church、Cohn、Grochow、Naslund、Sawin 和 Umans（基于 Croot、Lev 和 Pach，以及 Ellenberg 和 Gijswijt 的前期工作）证明了 $C_q^n$ 中的三色无和集的大小至多为 $3 \theta^n$。结合本文与 Pebody 的一篇论文，我们将证明，对于任意 $\delta > 0$ 和充分大的 $n$，$C_q^n$ 中存在大小为 $(\theta-\delta)^n$ 的三色无和集。我们的构造在 $q$ 不是素数时也成立。