算数统计中次要项的几何结构

本文证明了函数场 $\mathbb{F}_q(t)$ 上绝对范数固定的三次扩张数目的次要项存在。我们表明， discriminant 绝对范数等于 $q^{2N}$ 的三次扩张数量为 $c_1 q^{2N} - c_2^{i} q^{5N/3} + O_{\varepsilon}\left(q^{(3/2+\varepsilon)N}\right)$，其中 $c_1$ 和 $c_2^{i}$ 为显式常数，且 $c_2^{i}$ 仅取决于 $N\pmod{3}$。这延续了 Bhargava-Shankar-Tsimerman 和 Taniguchi-Thorne 的工作，后者者证明了在有界 discriminant 下的 $\mathbb{Q}$ 上三次扩张数目的次要项存在。我们的做法使用 Miranda 和 Casnati-Ekedahl 的参数化方法，这可视为经典的 Davenport-Heilbronn 二次三元联合参数化的几何版本。这使我们能够计数和筛选嵌入 Hirzebruch surfaces 中的光滑曲线，与 Zhao 和 Gunther 的方法类似。