离网格压缩感知的几何结构

本文对稀疏正则化的恢复性能给出了尖锐的几何分析。更具体地，我们分析BLASSO方法，该方法从随机欠采样测量中估计稀疏测度（Dirac质量之和）。这是压缩感知问题的“连续”扩展（常称为离网格），其中ℓ^1范数被测度的全变分取代。这种扩展从数值角度看颇具吸引力，因为它避免用网格离散化空间。但更重要的是，它明确了问题的几何结构，因为Dirac的位置现在可在参数空间上自由移动。在方法论层面，我们的贡献是提出该参数空间上的Fisher测地距离作为规范度量，以对超分辨率进行分析，且这种方式对该空间的重新参数化具有不变性。转向Fisher度量使我们能考虑非平移不变的测量算子，这对于成像中的Laplace反演、高斯混合估计以及带一个隐藏层的多层感知机训练等应用至关重要。在理论层面，我们的主要贡献表明：若尖峰间的Fisher距离大于瑞利分离常数，则只要测量数量正比于（相差对数因子）Dirac数量，BLASSO就能稳定地恢复一串Dirac。我们使用构建于Fisher测地距离之上的最优传输距离来度量稳定性。我们的结果（相差对数因子）是尖锐的，且不需要底层测度振幅的任何随机性假设。我们的证明技术依赖于所谓“golfing scheme”的无限维扩展，该扩展作用于测度空间且具有普遍意义。