压缩感知 $\ell_0$ 正则化的相图

无噪声压缩感知是一个两步的设置，允许对稀疏信号进行欠采样并在不损失信息的情况下重构。基于 $\lone$ 正则化的 LASSO 算法为解决此问题提供了高效且稳健的方法，但在压缩率非常高的情景下会失败。本文提出了两种基于 $\lzero$ 正则化的算法，这些算法在高斯设计情景下的压缩率方面优于 LASSO。这些算法基于大约 Survey Propagation，是 Approximate Message Passing 系列中的算法。在大系统极限下，它们可以通过 State Evolution 方程进行严格跟踪，并且可以精确预测在哪些压缩率下可以实现完美信号重构。我们还提供了 $\lzero$ 范数无噪声压缩感知模型的统计物理分析。我们展示了在足够低的 $\lzero$ 范数正则化下，存在 both 主导对称状态和 1 步骤失配对称状态（1RSB）。我们算法的恢复极限与 1RSB 解的行为相关联。