几何非线性 Cosserat 微极剪切-拉伸能量. 第一部分: 一般参数约化公式与二维能量极小化微转动

在任何基于变形梯度场 $F := \nabla\varphi: \Omega \to \mathrm{GL}^+(n)$ 和微转动场 $R: \Omega \to \mathrm{SO}(n)$ 构建的几何非线性二次 Cosserat 微极扩展连续介质模型中, 剪切-拉伸能量必然具有形式 \begin{equation*} W_{\mu,\mu_c}(R\,;F) := \mu\,\left\lVert{\mathrm{sym}(R^T F - \boldsymbol{1})}\right\rVert^2 + \mu_c\,\left\lVert{\mathrm{skew}(R^T F - \boldsymbol{1})}\right\rVert^2\;, \end{equation*} 其中 $\mu > 0$ 是 Lamé 剪切模量, $\mu_c \geq 0$ 是 Cosserat 耦合模量. 在本文中, 我们致力于显式刻画最优 Cosserat 微转动集合 $\mathrm{argmin}_{R\,\in\,\mathrm{SO}(n)}{W_{\mu,\mu_c}(R\,;F)}$ 作为 $F \in \mathrm{GL}^+(n)$ 以及权重 $\mu > 0$ 和 $\mu_c \geq 0$ 的函数. 对于 $n \geq 2$, 我们证明了一个参数约化引理, 将最优性问题归结为两种极限情形: $(\mu, \mu_c) = (1,1)$ 和 $(\mu,\mu_c) = (1,0)$. 与 Grioli 定理不同, 我们在 $n\!=\!2$ 维情形下针对参数范围 $\mu > \mu_c \geq 0$ 推导出了非经典极小化元. 目前, $n \geq 3$ 的最优性结果尚不可得, 但我们给出了 $n\!=\!2$ 的显式表示, 并将其命名为 $\mathrm{rpolar}^{\pm}_{\mu,\mu_c}(F) \in \mathrm{SO}(2)$, 这些表示在 $n\!=\!3$ 时通过先验固定旋转轴而出现. 此外, 我们计算了相应的约化能量水平, 并研究了简单平面剪切下非经典最优 Cosserat 转动 $\mathrm{rpolar}^\pm_{\mu,\mu_c}(F_\gamma)$.