三维 Sasaki 结构的 $G_2$ 几何

我们启动对三维 Sasaki 流形 $(M^7,g)$ 的第二 Einstein 度量 $g_{1/\sqrt{5}}$（相应地，其真近 $G_2$ 结构 $\varphi_{1/\sqrt{5}}$）形变理论的系统研究。我们证明 $g_{1/\sqrt{5}}$ 的无穷小 Einstein 形变与 $\varphi_{1/\sqrt{5}}$ 的无穷小 $G_2$ 形变一致。后者被证明由 $g$ 的基本 Laplacian 的特征函数参数化，其特征值为底四维 orbifold 的 Einstein 常数的两倍，经由一个显式微分算子。在此参数化下，我们确定了那些在二阶无阻碍的无穷小 $G_2$ 形变。