第四几何 II：从角公理到度量基础

本文是 arXiv:2511.01024（Base 1）的续篇，介绍了关于角度及差分角几何基础的公理化框架。在差分角几何中，视差分为基本角量（差分角），我们从差分角理论视角重构抛物线的焦点结构，并发展其相关的代数与分析结构。首先，我们引入差分角焦函数，构造性地将抛物线的焦点定义为其零集合。该方法给出与 Base 1 中不同的抛物线幂的表述。接着，通过将幂解释为经典内积的表示，我们通过极化恒等式推导出差分角版本的平行四边形定理，从而将差分角内积定义为伪内积。通过仅基于差分角内积计算推导差分角版本的斯图亚定理，来论证该结构的鲁棒性。进一步，我们定义与差分角（θ）相关的抛物线三角函数 cosp(θ) 和 sinp(θ)（以及相关函数），并证明它们满足对应欧几里得几何中的第一、二余弦定律的恒等式。最后，我们重审由拉格日尔公式推导的 Cayley-Klein 角与距离，特别验证现有的 Cayley-Klein 角满足 Base 1 中引入的角公理体系。随后我们指出，在绝对锥的抛物线极限中，差分角与差分角范数自然作为对数交叉比的线性退化。