外三角化长度范畴的第一 Brauer-Thrall 猜想

设 $(\mathcal{A},\Theta)$ 为一个长度范畴。我们引入了关于 $\Theta$ 的 Gabriel-Roiter 测度概念，并将 Gabriel 的主要性质推广到该设定。利用这一测度，当 $(\mathcal{A},\Theta)$ 满足某些技术条件时，我们证明了 $\mathcal{A}$ 具有无限多个两两不同构的不可分解对象，当且仅当它具有任意大长度的不可分解对象。也就是说，第一 Brauer-Thrall 猜想成立。