战斗机问题：离散物品的最优分配

研究具有离散弹药的战斗机问题。一架配备 $n$ 枚防空导弹的飞机（战斗机）遭遇敌机拦截，敌机的出现遵循已知强度的齐次泊松过程。如果在一次遭遇中消耗 $n$ 枚导弹中的 $j$ 枚，则以概率 $a(j)$ 摧毁一架敌机，其中 $a(0) = 0$ 且 $\{a(j)\}$ 是已知的严格递增凹序列，例如 $a(j) = 1-q^j, \; 0 < q < 1$。若敌机未被摧毁，则敌机以已知概率 $1-u$ 击落战斗机，其中 $0 \le u \le 1$。战斗机的目标是在给定时间段 $[0, T]$ 内击落尽可能多的敌机。令 $K(n, t)$ 为当战斗机剩余飞行时间 $t$ 和剩余导弹 $n$ 枚时，在当前遭遇中应使用的最优最少导弹数量。关于 $K(n, t)$ 的三个看似显然的性质曾被猜想：[A] 越接近终点，应使用的 $n$ 枚导弹越多，[B] 拥有的导弹越多，应使用的越多，以及 [C] 拥有的导弹越多，应为未来可能遭遇保留的越多。我们证明 [C] 对所有 $0 \le u \le 1$ 成立，[A] 和 [B] 对“无敌战斗机”（$u=1$）成立，而 [A] 成立但 [B] 对“脆弱战斗机”（$u=0$）不成立，后者通过一个令人惊讶的反例说明。