斐波那契数列非为 Heilbronn 集合

对于实数 $\theta$，记 $\|\theta\|$ 为 $\theta$ 到最近整数的距离。若对任意 $\alpha\in \mathbb R$ 及任意 $\epsilon>0$，都存在 $h\in\mathcal H$ 使得 $\|\theta h\|<\epsilon$，则正整数集合 $\mathcal H$ 为 Heilbronn 集合 (参见 \cite{montgomery} 2.7)。自然数集合因狄利克利逼近定理而为 Heilbronn 集合。Vinogradov \cite{vinogradov} 证明，对自然数 $k$，$k$ 次方整数构成 Heilbronn 集合。本文给出斐波那契数列非 Heilbronn 集合的构造性证明，同时证明几乎所有 $\alpha$ 满足 $\liminf_{n\to\infty}\|F_n\alpha\|=0$。然而，我们还构造了一个实数 $\alpha$，使得 $\|F_n\alpha\|>0.14$ 对所有 $n$ 均成立。