两个电报过程之和的显式概率分布

我们考虑实直线 $\Bbb R$ 上的两个独立 Goldstein-Kac 电报过程 $X_1(t)$ 和 $X_2(t)$，两者均以有限常速度 $c>0$ 演化，在初始时刻 $t=0$ 同时从原点 $0\in\Bbb R$ 出发，其演化由两个具有相同速率 $\lambda>0$ 的独立齐次 Poisson 过程控制。我们得到了这些过程之和 $S(t)=X_1(t)+X_2(t)$ 在任意时刻 $t>0$ 的转移密度 $p(x,t)$ 和概率分布函数 $\Phi(x,t)=\text{Pr} \{ S(t)<x \}, \; x\in\Bbb R, \; t>0,$ 的闭合形式表达式。此外还证明了移位时间导数 $g(x,t)=(\partial/\partial t+2\lambda)p(x,t)$ 满足参数加倍为 $2c$ 和 $2\lambda$ 的 Goldstein-Kac 电报方程。由此可得，$p(x,t)$ 求解了一个三阶双曲型偏微分方程，但不是其基本解。本文还讨论了一般情形。