随机格拉姆矩阵的期望特征多项式和积和多项式
概率论
2013-09-11 v1 组合数学
摘要
一个t×n随机矩阵A通过采样n个独立的随机列向量构成，每个列向量包含t个分量。大小为n的随机格拉姆矩阵G_n包含随机生成矩阵A中所有列向量对之间的点积；即G_n = A^T A。矩阵G_n的特征根与A的奇异值一致。此外，序列det(G_i)和per(G_i)（i=0,1,...,n）是构成G_n的特征多项式和积和多项式期望系数的因子。我们证明了将矩阵幂的迹、期望特征系数、期望行列式E(det(G_n))和期望积和式E(per(G_n))的生成函数与递归关系相互关联的定理。利用推导出的递归关系，我们展示了如何高效计算根据任意底层分布形成的随机格拉姆矩阵G_n的期望行列式和期望积和式。这些理论结果可用于加速数值算法，以及研究任何由独立采样列构成的矩阵的期望特征系数和积和系数的数值性质。
引用
@article{arxiv.1309.2599,
title = {The expected characteristic and permanental polynomials of the random Gram matrix},
author = {Jacob G. Martin and E. Rodney Canfield},
journal= {arXiv preprint arXiv:1309.2599},
year = {2013}
}
备注
19 pages, 2 figures