与Hessian矩阵特征值相关的演化问题

本文研究如下演化问题 $$\left\lbrace\begin{array}{ll} u_t (x,t)- \lambda_j(D^2 u(x,t)) = 0, & \text{in } \Omega\times (0,+\infty), \\ u(x,t) = g(x,t), & \text{on } \partial \Omega \times (0,+\infty), \\ u(x,0) = u_0(x), & \text{in } \Omega, \end{array}\right.$$ 其中$\Omega$是$\mathbb{R}^N$中的有界区域(其边界满足适当的几何条件)，$\lambda_j(D^2 u)$表示Hessian矩阵$D^2u$的第$j$个特征值。我们假设$u_0$与$g$为连续函数且满足相容条件$u_0(x) = g(x,0)$，$x\in \partial \Omega$。我们证明该问题的(唯一)解在粘性意义下存在，并且可作为双人零和博弈的值函数在博弈每轮移动步长参数趋于零时被逼近。此外，当边界数据与时间无关，即$g(x,t) =g(x)$时，我们证明该演化问题的粘性解稳定并在$t\to \infty$时以指数速度收敛到唯一平稳解。对$j=1$，极限剖面恰为边界数据$g$在$\Omega$内的凸包络；而对$j=N$，则为凹包络。我们以两种不同技术获得此结果：PDE工具与博弈论论证。而且，在某些特殊情况(仿射边界数据)下，我们可证明解在有限时间内(仅依赖于$\Omega$而与初值$u_0$无关)与平稳解重合。