嵌套三角形与四面体的 Euler 和 Grace-Danielsson 不等式：基于量子信息理论的推导与推广

我们利用来自量子力学的 steering ellipsoid 形式体系推导了经典欧几里得初等几何中的若干结果。这为一些非常非平凡的几何结果提供了具有物理动机的推导，其中部分结果完全是新的。我们考虑一个半径为$r$的球体包含在另一个半径为$R$的球体内，两球心相距$d$。何时存在一个外接于小球体内切于大球体的嵌套四面体？我们推导出 Grace-Danielsson 不等式$d^2 \leq (R+r)(R-3r)$作为嵌套四面体存在的唯一充要条件。我们的方法还给出了在类似的二维情形下嵌套三角形存在的条件$d^2 \leq R(R-2r)$。这些结果蕴含了二维和三维中的 Euler 不等式。此外，我们提出了一个适用于更一般的椭圆和椭球情形的新不等式。