Krein-Milman 性质下 CPCP 与强正则性的等价性

我们得到一个与著名的 W. Schachermeyer 和 H. P. Rosenthal 关于 Radon-Nikodym 性质与 Krein-Milman 性质等价性的研究精神相仿的结果：通过证明对于可分 Banach 空间中闭、有界、凸子集 $C$，在 $C$ 的 Krein-Milman 性质下，$C$ 上包含 $C$ 上弱拓扑的每一局部凸拓扑所定义的凸连续点性质与强正则性等价。进而，在 Krein-Milman 性质下，不仅经典的凸连续点性质与强正则性等价，而且当它们由任意包含弱拓扑的局部凸拓扑定义时亦等价。我们还表明，虽然 $c_0$ 的单位球 $B$ 不满足凸连续点性质与强正则性（均对弱拓扑定义），但存在 $B$ 上包含 $B$ 上弱拓扑的局部凸拓扑 $\tau$，使得 $B$ 仍不满足对 $\tau$ 的凸连续点性质，但 $B$ 却出人意料地享有对 $\tau$-开集的强正则性。此外，$B$ 满足拓扑 $\tau$ 的直径二性质，即 $B$ 的每个非空 $\tau$-开子集直径为二，尽管 $B$ 的每个 $\tau$-开子集包含具有任意小直径的相对 $\tau$-开子集的凸组合，即 $B$ 不满足拓扑 $\tau$ 的强直径二性质。这强调了迄今为止从这些直径二性质之间已知的从拓扑视角看的极端差异。