控制数与最小 Q 特征值 II

记 $L_{g, l}$ 为通过将悬挂路径 $\mathbb{P}=v_{g}v_{g+1}\cdots v_{g+l}$ ($l\geq 1$) 附着到环 $\mathbb{C}=v_{1}v_{2}\cdots v_{g}v_{1}$ ($g\geq 3$) 上得到的棒棒糖图。阶为 $n\geq g+1$ 的 $\mathcal {F}_{g, l}$-图定义为通过将 $n-g-l$ 个悬挂顶点附着到 $L_{g, l}$ 的某些非悬挂顶点上得到的图，其中除 $v_{g+l-1}$ 外的每个顶点至多附着一个悬挂顶点。$\mathcal {F}^\circ_{g, l}$-图是指 $v_{g}$ 附着有悬挂顶点的 $\mathcal {F}_{g, l}$-图。记 $q_{min}$ 为图的最小 Q 特征值。在本文中，我们继续考虑图的控制数、最小 Q 特征值及其关系。进一步获得的结果如下：$\mathrm{(i)}$ 给出了图在结构扰动下控制数变化的一些结果；$\mathrm{(ii)}$ 在所有阶为 $n$、控制数为 $\gamma$ 且围长为 $g$ ($g\leq n-1$) 的非二部单圈图中，最小 $q_{min}$ 在某个 $l$ 对应的 $\mathcal {F}_{g, l}$-图处取得；$\mathrm{(iii)}$ 在包含 $\mathcal {F}^\circ_{g, l}$-图作为子图的、阶为 $n$ 且具有给定控制数的非二部图中，给出了 $q_{min}$ 的一些下界；$\mathrm{(iv)}$ 在阶为 $n$ 且给定控制数为 $\frac{n}{2}$、$\frac{n-1}{2}$ 的非二部图中，分别完全确定了最小 $q_{min}$；$\mathrm{(v)}$ 在阶为 $n\geq 4$、控制数满足 $\frac{n+1}{3}<\gamma\leq \frac{n}{2}$ 且奇围长（最短奇环的长度）至多为 $5$ 的非二部图中，完全确定了最小 $q_{min}$。