方程 $x_1 + x_2 + \dots + x_m + c = 2x_0$ 的离散 Rado 数

对于正整数 $m$ 和实数 $c$，令 $R = R(m,c,2)$ 表示方程 $x_1 + x_2 + \dots + x_m + c = 2x_0$ 的离散 2-色 Rado 数。换言之，$R$ 是最小整数，使得对整数 ${1, 2, \dots, R}$ 的任意染色，存在同色的数 $x_1, x_2, \dots, x_m, x_0$ 满足 $x_1 + x_2 + \dots + x_m + c = 2x_0$。本文证明若 $m \geq 2$ 且 $c > 0$，则 $$\begin{array}{cc} R(m,c,2) = \begin{cases} \infty & \text{若 $m$ 为偶数, $c$ 为奇数} \newline \big\lceil \frac{m}{2} \big\lceil \frac{m+c}{2} \big\rceil + \frac{c}{2} \big\rceil & \text{其他情况.} \end{cases} \end{array}$$ 对于实数 $a$ 和 $c$，我们考虑方程 $x_1 + c = ax_0$ 的 2-色 Rado 数。我们证明若 $a > 1$ 且 $c > 0$，则 2-色连续 Rado 数为 $$R_\mathbb{R}(1, c, a) = \begin{cases} \infty & \text{若 $a=1$ } \newline \frac{c}{a-1} & \text{其他情况.} \end{cases}$$ 由此，我们将证明离散 Rado 数为 $$R(1, c, a) = \begin{cases} \frac{c}{a-1} & \text{若 $ \left( a-1 \right) \mid c$} \newline \infty & \text{其他情况.} \end{cases}$$